theta最高价是多少，英语音标有多少个分别是什么

一、交易pta期权一手需要多少权利金和大致手续费它的优势是比

PTA期货看跌期权

以2024年5月到期、执行价格为5200元/吨的PTA期货看跌期权为例，最新价格为38.5元/吨，而PTA期货交易单位是5吨/手，这表明一手PTA期货期权的权利金约为38.5元/手。购买一手看跌期权，意味着投资者以38.5元/手的价格获得了以特定价格在未来某个时间卖出PTA的权利。考虑到手续费标准为1元/手，免收日内平今仓交易手续费，一手PTA期权的总成本即为权利金加上手续费，合计49.5元。

杠杆优势

相较于直接交易PTA期货，PTA期权提供更高的杠杆。杠杆是指投资者可用较少的资金控制更大价值的资产。在期权交易中，通过支付相对较小的权利金，投资者能够控制大量PTA，杠杆效应主要体现在以下几个方面：一是权利金与标的资产价值的比较，期权价格通常远低于标的资产的全额价值；二是潜在的无限收益与有限的损失，期权买方的潜在收益无限，而潜在损失仅限于权利金；三是市场波动性，期权价格受市场波动性影响较大，市场波动性增加时，期权价格也相应上升。

杠杆效应与风险管理

PTA期权的杠杆效应能够放大投资者的收益，但同时伴随着较高的风险。虽然期权买方的损失有限，但如果市场走势与预期相反，期权可能失效，投资者将损失全部权利金。此外，期权交易需要投资者掌握一定的专业知识和风险管理技能，如了解期权的希腊字母（如Delta、Gamma、Vega等），以有效管理风险。

期权策略与择时交易

对于追求高杠杆率的择时交易者，期权策略尤为适用。采用期权买方策略，投资者可以在放大择时收益的同时，将最大损失控制在权利金范围内，风险相对可控。在实际操作中，通过控制资金，可以进一步调整整体杠杆率，以适应不同市场环境。

期权选择与策略考量

在选择期权时，需综合考虑杠杆率、时间价值和交易成本等因素。通常，虚值期权能提供更高的杠杆率，但波动性较大，而实值期权杠杆率较低，收益较为稳定。时间价值方面，远期合约持有时间价值衰减较慢，适合长期持有。PTA期权的主力合约月份相对固定，多数时间距到期日较远，时间价值损耗较慢，但需注意平值期权的Theta值较大，时间价值损耗较快。在交易时，应关注隐含波动率情况，选择波动率较低时介入，以优化策略效果。

综上所述，PTA期权与择时策略的结合能够提供较高的杠杆优势，但在操作中需充分考虑风险控制，选择合适的期权类型和策略，以实现风险与收益的平衡。

二、英语音标有多少个分别是什么

英语音标总共有48个，其中元音20个，辅音28个。

元音包括单元音（[i:]、[ɪ]、[ɔ:]、[ɒ]、[u:]、[ʊ]、[ɜː]、[ə]、[ɑ:]、[ʌ]、[e]、[æ]）和双元音（[eɪ]、[aɪ]、[ɔɪ]、[ɪə]、[eə]、[ʊə]、[aʊ]、[əʊ]）。

辅音包括：[p]、[b]、[t]、[d]、[k]、[g]、[f]、[v]、[s]、[z]、[θ]、[ð]、[ʃ]、[ʒ]、[tʃ]、[dʒ]、[tr]、[dr]、[ts]、[dz]、[m]、[n]、[ŋ]、[h]、[l]、[r]、[j]、[w]。

扩展资料

拼写规则

1、字母C通常发/k/音(cage)，但是放在字母E、I、Y前，则通常弱化发/s/音(ice, city, consistency)。

2、字母G通常发/g/音(guard)，但是放在字母E、I、Y前，则通常弱化发/j/音(age, giant, gym)。

3、英文单词不会以字母I、U、V、J结尾（不包括外来词）。

4、以O结尾的音节，其O一般发自己本身的音O//，或者他作为音标发出的音/ō/。

5、当某音节以字母I结尾时，若其跟在元音后面，则发/ē/音（rain）；出现在外来词词尾时，也发/ē/音。

三、期权的盈亏比例大概是多少

期权交易是指在指定时间内，购买或出售一定数量的证券，以固定价格参与交易的一种金融衍生品。在这种交易中，盈亏计算是非常重要的。

期权的盈亏应该怎么计算？

买方盈亏=买方行权能获得的有利差价（到期的内在价值）-当初买期权时付出的价格权利金；

卖方盈亏=当初卖出期权的价格-内在价值（到期）

到期日前平仓结算：

每个期权合约都像对应的标的一样有分时图、K线图，在交易时间可以实时交易，所以你可以到期前的任意交易时间平仓。认购期权价格走势一般与标的ETF走势成正比，认沽期权价格走势则一般与标的ETF走势成反比（如果理解了期权价格的组成就知道这句话背后的逻辑了）。

期权怎样获利？

当一个人卖出期权时，收取购买期权的费用，并承担在特定时间内以特定价格购买或出售一种特定的股票、货币、商品等的义务。如果标的资产价格在期权到期日前没有上涨，期权卖方可以保留收取的费用，并从期权买方那里获得收益。因此，卖出期权的获利取决于标的资产价格的稳定性。

如果资产价格上涨，期权卖方将面临损失，因为他们必须以低于市场价格的价格购买或卖出资产。因此，卖出期权的风险也相对较高，需要谨慎考虑。

期权风险有哪些？

价格波动

因为期权是一种比较复杂的金融衍生产品，容易受到诸多因素的影响，有时还会出现价格的大幅度波动，可能导致期权的买卖双方都会亏损。所以建议投资者在买进期权之前设置好一个止损价格，当价格下跌至止损价格时进行适当地卖出。

行权交收

指投资者可能会面临的行权失败风险和违约风险。比如期权权利方剔除行权后没有备齐足够的资金或者证券，会被判定行权失败，无法赋予有关权利。还有就是期权的义务方在到期日未能准备足够的资金或证券交收，就会被判定为违约，可能会面临处罚。

期权交易技巧

分散投资

建议购买几个不同品种的期权进行交易，合理地分散投资风险，降低市场影响风险。可以利用期权组合策略投资选择不同品种组合投资，分散降低风险，增加收益。

选择交易时机

建议投资者根据市场行情以及自身资金条件选择合适的交易时机，不要在市场波动较大、风险较大时进行交易。

四、根号6+根号2×多少等于1

梯度下降是非常常用的优化算法。作为机器学习的基础知识，这是一个必须要掌握的算法。借助本文，让我们来一起详细了解一下这个算法。

前言

本文的代码可以到我的Github上获取：

本文的算法示例通过Python语言实现，在实现中使用到了numpy和matplotlib。如果你不熟悉这两个工具，请自行在网上搜索教程。

关于优化

大多数学习算法都涉及某种形式的优化。优化指的是改变x以最小化或者最大化某个函数的任务。

我们通常以最小化指代大多数最优化问题。最大化可经由最小化来实现。

我们把要最小化或最大化的函数成为目标函数（objective function）或准则（criterion）。

我们通常使用一个上标*表示最小化或最大化函数的x值，记做这样：

[x^*= arg; min; f(x)]

优化本身是一个非常大的话题。如果有兴趣，可以通过《数值优化》和《运筹学》的书籍进行学习。

模型与假设函数

所有的模型都是错误的，但其中有些是有用的。– George Edward Pelham Box

模型是我们对要分析的数据的一种假设，它是为解决某个具体问题从数据中学习到的，因此它是机器学习最核心的概念。

针对一个问题，通常有大量的模型可以选择。

本文不会深入讨论这方面的内容，关于各种模型请参阅机器学习的相关书籍。本文仅以最简单的线性模型为基础来讨论梯度下降算法。

这里我们先介绍一下在监督学习（supervised learning）中常见的三个符号：

m，描述训练样本的数量

x，描述输入变量或特征

y，描述输出变量或者叫目标值

请注意，一个样本可能有很多的特征，因此x和y通常是一个向量。不过在刚开始学习的时候，为了便于理解，你可以暂时理解为这就是一个具体的数值。

训练集会包含很多的样本，我们用表示其中第i个样本。

x是数据样本的特征，y是其目标值。例如，在预测房价的模型中，x是房子的各种信息，例如：面积，楼层，位置等等，y是房子的价格。在图像识别的任务中，x是图形的所有像素点数据，y是图像中包含的目标对象。

我们是希望寻找一个函数，将x映射到y，这个函数要足够的好，以至于能够预测对应的y。由于历史原因，这个函数叫做假设函数（hypothesis function）。

学习的过程如下图所示。即：首先根据已有的数据（称之为训练集）训练我们的算法模型，然后根据模型的假设函数来进行新数据的预测。

线性模型（linear model）正如其名称那样：是希望通过一个直线的形式来描述模式。线性模型的假设函数如下所示：

[h_{\theta}(x)= \theta_{0}+ \theta_{1}* x]

这个公式对于大家来说应该都是非常简单的。如果把它绘制出来，其实就是一条直线。

下图是一个具体的例子，即：的图形：

在实际的机器学习工程中，你会拥有大量的数据。这些数据会来自于某个数据源。它们存储在csv文件中，或者以其他的形式打包。

但是本文作为演示使用，我们通过一些简单的代码自动生成了需要的数据。为了便于计算，演示的数据量也很小。

import numpy as np

max_x= 10

data_size= 10

theta_0= 5

theta_1= 2

def get_data:

x= np.linspace(1, max_x, data_size)

noise= np.random.normal(0, 0.2, len(x))

y= theta_0+ theta_1* x+ noise

return x, y

这段代码很简单，我们生成了x范围是 [1, 10]整数的10条数据。对应的y是以线性模型的形式计算得到，其函数是：。现实中的数据常常受到各种因素的干扰，所以对于y我们故意加上了一些高斯噪声。因此最终的y值为比原先会有轻微的偏离。

最后我们的数据如下所示：

x= [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]

y= [6.66, 9.11, 11.08, 12.67, 15.12, 16.76, 18.75, 21.35, 22.77, 24.56]

我们可以把这10条数据绘制出来这样就有一个直观的了解了，如下图所示：

虽然演示用的数据是我们通过公式计算得到的。但在实际的工程中，模型的参数是需要我们通过数据学习到的。所以下文我们假设我们不知道这里线性模式的两个参数是什么，而是通过算法的形式求得。

最后再跟已知的参数进行对比以验证我们的算法是否正确。

有了上面的数据，我们可以尝试画一条直线来描述我们的模型。

例如，像下面这样画一条水平的直线：

很显然，这条水平线离数据太远了，非常的不匹配。

那我们可以再画一条斜线。

我们初次画的斜线可能也不贴切，它可能像下面这样：

最后我们通过不断尝试，找到了最终最合适的那条，如下所示：

梯度下降算法的计算过程，就和这种本能式的试探是类似的，它就是不停的迭代，一步步的接近最终的结果。

代价函数

上面我们尝试了几次通过一条直线来拟合（fitting）已有的数据。

二维平面上的一条直线可以通过两个参数唯一的确定，两个参数的确定也即模型的确定。那如何描述模型与数据的拟合程度呢？答案就是代价函数。

代价函数（cost function）描述了学习到的模型与实际结果的偏差程度。以上面的三幅图为例，最后一幅图中的红线相比第一条水平的绿线，其偏离程度（代价）应该是更小的。

很显然，我们希望我们的假设函数与数据尽可能的贴近，也就是说：希望代价函数的结果尽可能的小。这就涉及到结果的优化，而梯度下降就是寻找最小值的方法之一。

代价函数也叫损失函数。

对于每一个样本，假设函数会依据计算出一个估算值，我们常常用来表示。即。

很自然的，我们会想到，通过下面这个公式来描述我们的模型与实际值的偏差程度：

[(h_\theta(x^i)- y^i)^2=(\widehat{y}^{i}- y^i)^2=(\theta_{0}+ \theta_{1}* x^{i}- y^{i})^2]

请注意，是实际数据的值，是我们的模型的估算值。前者对应了上图中的离散点的y坐标，后者对应了离散点在直线上投影点的y坐标。

每一条数据都会存在一个偏差值，而代价函数就是对所有样本的偏差求平均值，其计算公式如下所示：

[L(\theta)= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^i)- y^i)^2= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}(\theta_{0}+ \theta_{1}* x^{i}- y^{i})^2]

当损失函数的结果越小，则意味着通过我们的假设函数估算出的结果与真实值越接近。这也就是为什么我们要最小化损失函数的原因。

不同的模型可能会用不同的损失函数。例如，logistic回归的假设函数是这样的：。其代价函数是这样的：

借助上面这个公式，我们可以写一个函数来实现代价函数：

def cost_function(x, y, t0, t1):

cost_sum= 0

for i in range(len(x)):

cost_item= np.power(t0+ t1* x[i]- y[i], 2)

cost_sum+= cost_item

return cost_sum/ len(x)

这个函数的代码应该不用多做解释，它就是根据上面的完成计算。

我们可以尝试选取不同的和组合来计算代价函数的值，然后将结果绘制出来：

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from matplotlib import cm

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

theta_0= 5

theta_1= 2

def draw_cost(x, y):

fig= plt.figure(figsize=(10, 8))

ax= fig.gca(projection='3d')

scatter_count= 100

radius= 1

t0_range= np.linspace(theta_0- radius, theta_0+ radius, scatter_count)

t1_range= np.linspace(theta_1- radius, theta_1+ radius, scatter_count)

cost= np.zeros((len(t0_range), len(t1_range)))

for a in range(len(t0_range)):

for b in range(len(t1_range)):

cost[a][b]= cost_function(x, y, t0_range[a], t1_range[b])

t0, t1= np.meshgrid(t0_range, t1_range)

ax.set_xlabel('theta_0')

ax.set_ylabel('theta_1')

ax.plot_surface(t0, t1, cost, cmap=cm.hsv)

在这段代码中，我们对和各自指定了一个范围进行100次的采样，然后以不同的组合对来计算代价函数的值。

如果我们将所有点的代价函数值绘制出来，其结果如下图所示：

从这个图形中我们可以看出，当越接近 [5, 2]时其结果（偏差）越小。相反，离得越远，结果越大。

直观解释

从上面这幅图中我们可以看出，代价函数在不同的位置结果大小不同。

从三维的角度来看，这就和地面的高低起伏一样。最高的地方就好像是山顶。

而我们的目标就是：从任意一点作为起点，能够快速寻找到一条路径并以此到达图形最低点（代价值最小）的位置。

而梯度下降的算法过程就和我们从山顶想要快速下山的做法是一样的。

在生活中，我们很自然会想到沿着最陡峭的路往下行是下山速度最快的。如下面这幅图所示：

针对这幅图，细心的读者可能很快就会有很多的疑问，例如：

对于一个函数，怎么确定下行的方向？

每一步该往前走多远？

有没有可能停留在半山腰的平台上？

这些问题也就是本文接下来要讨论的内容。

算法描述

梯度下降算法最开始的一点就是需要确定下降的方向，即：梯度。

我们常常用来表示梯度。

对于一个二维空间的曲线来说，梯度就是其切线的方向。如下图所示：

而对于更高维空间的函数来说，梯度由所有变量的偏导数决定。

其表达式如下所示：

[\nabla f({\theta})=( \frac{\partial f({\theta})}{\partial \theta_1}, \frac{\partial f({\theta})}{\partial \theta_2},..., \frac{\partial f({\theta})}{\partial \theta_n})]

在机器学习中，我们主要是用梯度下降算法来最小化代价函数，记做：

[\theta ^*= arg min L(\theta)]

其中，L是代价函数，是参数。

梯度下降算法的主体逻辑很简单，就是沿着梯度的方向一直下降，直到参数收敛为止。

记做：

[\theta ^{k+ 1}_i= \theta^{k}_i- \lambda \nabla f(\theta^{k})]

这里的下标i表示第i个参数。上标k指的是第k步的计算结果，而非k次方。在能够理解的基础上，下文的公式中将省略上标k。

这里有几点需要说明：

收敛是指函数的变化率很小。具体选择多少合适需要根据具体的项目来确定。在演示项目中我们可以选择0.01或者0.001这样的值。不同的值将影响算法的迭代次数，因为在梯度下降的最后，我们会越来越接近平坦的地方，这个时候函数的变化率也越来越小。如果选择一个很小的值，将可能导致算法迭代次数暴增。

公式中的称作步长，也称作学习率（learning rate）。它决定了每一步往前走多远，关于这个值我们会在下文中详细讲解。你可以暂时人为它是一个类似0.01或0.001的固定值。

在具体的项目，我们不会让算法无休止的运行下去，所以通常会设置一个迭代次数的最大上限。

线性回归的梯度下降

有了上面的知识，我们可以回到线性模型代价函数的梯度下降算法实现了。

首先，根据代价函数我们可以得到梯度向量如下：

[\nabla f({\theta})=(\frac{\partial L(\theta)}{ \partial\theta_{0}}, \frac{ \partial L(\theta)}{ \partial\theta_{1}})=(\frac{2}{m} \sum_{i=1}^{m}(\theta_{0}+ \theta_{1}* x^{i}- y^{i}), \frac{2}{m} \sum_{i=1}^{m}(\theta_{0}+ \theta_{1}* x^{i}- y^{i}) x^{i})]

接着，将每个偏导数带入迭代的公式中，得到：

[\theta_{0}:= \theta_{0}- \lambda \frac{\partial L(\theta_{0})}{ \partial\theta_{0}}= \theta_{0}- \frac{2 \lambda}{m} \sum_{i=1}^{m}(\theta_{0}+ \theta_{1}* x^{i}- y^{i}) \ \theta_{1}:= \theta_{1}- \lambda \frac{\partial L(\theta_{1})}{ \partial\theta_{1}}= \theta_{1}- \frac{2 \lambda}{m} \sum_{i=1}^{m}(\theta_{0}+ \theta_{1}* x^{i}- y^{i}) x^{i}]

由此就可以通过代码实现我们的梯度下降算法了，算法逻辑并不复杂：

learning_rate= 0.01

def gradient_descent(x, y):

t0= 10

t1= 10

delta= 0.001

for times in range(1000):

sum1= 0

sum2= 0

for i in range(len(x)):

sum1+=(t0+ t1* x[i]- y[i])

sum2+=(t0+ t1* x[i]- y[i])* x[i]

t0_= t0- 2* learning_rate* sum1/ len(x)

t1_= t1- 2* learning_rate* sum2/ len(x)

print('Times:{}, gradient: [{},{}]'.format(times, t0_, t1_))

if(abs(t0- t0_)< delta and abs(t1- t1_)< delta):

print('Gradient descent finish')

return t0_, t1_

t0= t0_

t1= t1_

print('Gradient descent too many times')

return t0, t1

这段代码说明如下：

我们随机选择了都为10作为起点

设置最多迭代1000次

收敛的范围设为0.001

学习步长设为0.01

如果我们将算法迭代过程中求得的线性模式绘制出来，可以得到下面这幅动态图：

最后算法得到的结果如下：

Times: 657, gradient: [5.196562662718697, 1.952931052920264]

Times: 658, gradient: [5.195558390180733, 1.9530753071808193]

Times: 659, gradient: [5.194558335124868, 1.9532189556399233]

Times: 660, gradient: [5.193562479839619, 1.9533620008416623]

Gradient descent finish

从输出中可以看出，算法迭代了660次就收敛了。这时的结果[5.193562479839619, 1.9533620008416623]，这已经比较接近目标值 [5, 2]了。如果需要更高的精度，可以将delta的值调的更小，当然，此时会需要更多的迭代次数。

高维扩展

虽然我们举的例子是二维的，但是对于更高维的情况也是类似的。同样是根据迭代的公式进行运算即可：

[\theta_{i}= \theta_{i}- \lambda \frac{\partial L(\theta)}{\partial \theta_i}= \theta_{i}- \frac{2\lambda}{m} \sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{k})-y^k)x_i^k]

这里的下标i表示第i个参数，上标k表示第k个数据。

梯度下降家族BGD

在上面的内容中我们看到，算法的每一次迭代都需要把所有样本进行遍历处理。这种做法称为之Batch Gradient Descent，简称BGD。作为演示示例只有10条数据，这是没有问题的。

但在实际的项目中，数据集的数量可能是几百万几千万条，这时候每一步迭代的计算量就会非常的大了。

于是就有了下面两个变种。

SGD

Stochastic Gradient Descent，简称SGD，这种算法是每次从样本集中仅仅选择一个样本来进行计算。很显然，这样做算法在每一步的计算量一下就少了很多。

其算法公式如下：

[\theta_{i}= \theta_{i}- \lambda \frac{\partial L(\theta)}{\partial \theta_i}= \theta_{i}- \lambda(h_\theta(x^k)-y^k)x_i^k]

当然，减少算法计算量也是有代价的，那就是：算法结果会强依赖于随机取到的数据情况，这可能会导致算法的最终结果不太令人满意。

MBGD

以上两种做法其实是两个极端，一个是每次用到了所有数据，另一个是每次只用一个数据。

我们自然就会想到两者取其中的方法：每次选择一小部分数据进行迭代。这样既避免了数据集过大导致每次迭代计算量过大的问题，也避免了单个数据对算法的影响。

这种算法称之为Mini-batch Gradient Descent，简称MBGD。

其算法公式如下：

[\theta_{i}= \theta_{i}- \lambda \frac{\partial L(\theta)}{\partial \theta_i}= \theta_{i}- \frac{2\lambda}{m} \sum_{i=a}^{a+ b}(h_\theta(x^k)-y^k)x_i^k]

当然，我们可以认为SGD是Mini-batch为1的特例。

针对上面提到的算法变种，该如何选择呢？

下面是Andrew Ng给出的建议：

如果样本数量较小（例如小于等于2000），选择BGD即可。

如果样本数量很大，选择来进行MBGD，例如：64，128，256，512。

下表是 Optimization for Deep Learning中对三种算法的对比

方法准确性更新速度内存占用在线学习BGD好慢高否SGD好（with annealing）快低是MBGD好中等中等是

算法优化

式7是算法的基本形式，在这个基础上有很多人进行了更多的研究。接下来我们介绍几种梯度下降算法的优化方法。

Momentum

Momentum是动量的意思。这个算法的思想就是借助了动力学的模型：每次算法的迭代会使用到上一次的速度作为依据。

算法的公式如下：

[v^t= \gamma v^{t- 1}+ \lambda \nabla f(\theta) \ \theta= \theta- v_t]

对比式7可以看出，这个算法的主要区别就是引入了，并且，每个时刻的受前一个时刻的影响。

从形式上看，动量算法引入了变量 v充当速度角色——它代表参数在参数空间移动的方向和速率。速度被设为负梯度的指数衰减平均。名称动量来自物理类比，根据牛顿运动定律，负梯度是移动参数空间中粒子的力。动量在物理学上定义为质量乘以速度。在动量学习算法中，我们假设是单位质量，因此速度向量 v也可以看作是粒子的动量。

对于可以取值0，而是一个常量，设为0.9是一个比较好的选择。

下图是momentum算法的效果对比：

对原来的算法稍加修改就可以增加动量效果：

def gradient_descent_with_momentum(x, y):

t0= 10

t1= 10

delta= 0.001

v0= 0

v1= 0

gamma= 0.9

for times in range(1000):

sum1= 0

sum2= 0

for i in range(len(x)):

sum1+=(t0+ t1* x[i]- y[i])

sum2+=(t0+ t1* x[i]- y[i])* x[i]

v0= gamma* v0+ 2* learning_rate* sum1/ len(x)

v1= gamma* v1+ 2* learning_rate* sum2/ len(x)

t0_= t0- v0

t1_= t1- v1

print('Times:{}, gradient: [{},{}]'.format(times, t0_, t1_))

if(abs(t0- t0_)< delta and abs(t1- t1_)< delta):

print('Gradient descent finish')

return t0_, t1_

t0= t0_

t1= t1_

print('Gradient descent too many times')

return t0, t1

以下是该算法的输出：

Times: 125, gradient: [4.955453758569991, 2.000005017897775]

Times: 126, gradient: [4.955309381126545, 1.9956928964532015]

Times: 127, gradient: [4.9542964317327005, 1.9855674828684156]

Times: 128, gradient: [4.9536358220657, 1.9781180992510465]

Times: 129, gradient: [4.95412496254411, 1.9788858350530971]

Gradient descent finish

从结果可以看出，改进的算法只用了129次迭代就收敛了。速度比原来660次快了很多。

同样的，我们可以把算法计算的过程做成动态图：

对比原始的算法过程可以看出，改进算法最大的区别是：在寻找目标值时会在最终结果上下跳动，但是越往后跳动的幅度越小，这也就是动量所产生的效果。

Learning Rate优化

至此，你可能还是好奇该如何设定学习率的值。

事实上，这个值的选取需要一定的经验或者反复尝试才能确定。

《深度学习》一书中是这样描述的：“与其说是科学，这更像是一门艺术，我们应该谨慎地参考关于这个问题的大部分指导。”。

关键在于，这个值的选取不能过大也不能过小。

如果这个值过小，会导致每一次迭代的步长很小，其结果就是算法需要迭代非常多的次数。

那么，如果这个值过大会怎么样呢？其结果就是：算法可能在结果的周围来回震荡，却落不到目标的点上。下面这幅图描述了这个现象：

事实上，学习率的取值未必一定要是一个常数，关于这个值的设定有很多的研究。

下面是比较常见的一些改进算法。

AdaGrad

AdaGrad是Adaptive Gradient的简写，该算法会为每个参数设定不同的学习率。它使用历史梯度的平方和作为基础来进行计算。

其算法公式如下：

[\theta_i= \theta_i- \frac{\lambda}{\sqrt{G_t+ \epsilon}} \nabla f(\theta)]

对比式7，这里的改动就在于分号下面的根号。

根号中有两个符号，第二个符号比较好理解，它就是为了避免除0而人为引入的一个很小的常数，例如可以设为：0.001。

第一个符号的表达式展开如下：

[G_t= \sum_{i= 1}^{t} \nabla f(\theta){i}\nabla f(\theta){i}^{T}]

这个值其实是历史中每次梯度的平方的累加和。

AdaGrad算法能够在训练中自动的对learning rate进行调整，对于出现频率较低参数采用较大的学习率；相反，对于出现频率较高的参数采用较小的学习率。因此，Adagrad非常适合处理稀疏数据。

但该算法的缺点是它可能导致学习率非常小以至于算法收敛非常的慢。

关于这个算法的直观解释可以看李宏毅教授的视频课程：ML Lecture 3-1: Gradient Descent。

RMSProp

RMS是Root Mean Square的简写。RMSProp是AI教父Geoff Hinton提出的一种自适应学习率方法。AdaGrad会累加之前所有的梯度平方，而RMSProp仅仅是计算对应的平均值，因此可缓解Adagrad算法学习率下降较快的问题。

该算法的公式如下：

[E[\nabla f(\theta_{i})^2]^{t}= \gamma E[\nabla f(\theta_{i})^2]^{t- 1}+(1-\gamma)(\nabla f(\theta_{i})^{t})^{2} \ \theta_i= \theta_i- \frac{\lambda}{\sqrt{E[g^2]^{t+1}+ \epsilon}} \nabla f(\theta_{i})]

类似的，是为了避免除0而引入。是衰退参数，通常设为0.9。

这里的是t时刻梯度平方的平均值。

Adam

Adam是Adaptive Moment Estimation的简写。它利用梯度的一阶矩估计和二阶矩估计动态调整每个参数的学习率。

Adam的优点主要在于经过偏置校正后，每一次迭代学习率都有个确定范围，使得参数比较平稳。

该算法公式如下：

[m^{t}= \beta_{1} m^{t-1}+(1-\beta_{1}) \nabla f(\theta) \ v^{t}= \beta_{2} v^{t-1}+(1-\beta_{2}) \nabla f(\theta)^2 \ \widehat{m}^{t}= \frac{m^{t}}{1- \beta^{t}_1} \ \widehat{v}^{t}= \frac{v^{t}}{1- \beta^{t}_2} \ \theta= \theta- \frac{\lambda}{\sqrt{\widehat{v}^{t}}+ \epsilon}\widehat{m}^{t}]

，分别是对梯度的一阶矩估计和二阶矩估计。，是对，的校正，这样可以近似为对期望的无偏估计。

Adam算法的提出者建议默认值为0.9，默认值为0.999，默认值为。

在实际应用中，Adam较为常用，它可以比较快地得到一个预估结果。

优化小结

这里我们列举了几种优化算法。它们很难说哪种最好，不同的算法适合于不同的场景。在实际的工程中，可能需要逐个尝试一下才能确定选择哪一个，这个过程也是目前现阶段AI项目要经历的工序之一。

实际上，该方面的研究远不止于此，如果有兴趣，可以继续阅读《Sebastian Ruder: An overview of gradient descent optimization algorithms》这篇论文或者 Optimization for Deep Learning这个Slides进行更多的研究。

由于篇幅所限，这里不再继续展开了。

算法限制

梯度下降算法存在一定的限制。首先，它要求函数必须是可微分的，对于不可微的函数，无法使用这种方法。

除此之外，在某些情况下，使用梯度下降算法在接近极值点的时候可能收敛速度很慢，或者产生Z字形的震荡。这一点需要通过调整学习率来回避。

另外，梯度下降还会遇到下面两类问题。

局部最小值

局部最小值（Local Minima）指的是，我们找到的最小值仅仅是一个区域内的最小值，而并非全局的。由于算法的起点是随意取的，以下面这个图形为例，我们很容易落到局部最小值的点里面。

这就是好像你从上顶往下走，你第一次走到的平台未必是山脚，它有可能只是半山腰的一个平台的而已。

算法的起点决定了算法收敛的速度以及是否会落到局部最小值上。

坏消息是，目前似乎没有特别好的方法来确定选取那个点作为起点是比较好的，这就有一点看运气的成分了。多次尝试不同的随机点或许是一个比较好的方法，这也就是为什么做算法的优化这项工作是特别消耗时间的了。

但好消息是：

对于凸函数或者凹函数来说，不存在局部极值的问题。其局部极值一定是全局极值。